Earth Tide and Gravitational Acceleration

Calculate the gravity acceleration due to earth tides, caused by the time-varying positions of the Sun and the Moon, relative to a point on Earth's surface.

Calculating the model with perl
A look at the output
Plotting the output with gnuplot
References and Citation

Introduction

Gravity varies due to tidal effects. For any location at the surface of Earth, the distance to the Sun and the Moon change continually with time, changing the gravity field. Below is a perl function that calculates the tidal effects for a point on the surface of Earth. This calculation returns the upward gravity acceleration (in mgal) due to the Sun and the Moon. Note, near coastlines there is an additional effect of ocean loading of the continental margin due to the tide. The effect of this loading on the gravitational acceleration is not considered.

[Top]

Calculating gravity acceleration with perl

This function in perl calculates the gravity acceleration due to tidal effects of the Sun and the Moon on a point at the surface of Earth. We actually do not know the origin of this code. This version was modified by Dan Sheirer - he may be the original author. The code was translated to perl by Laura Connor.

The code requires an input file which contains details regarding the time and place on Earth's surface for the tidal calculation. An example of the contents of the input file is:

Example input file for earth tide calculation


26.0 15.0 -82.0 25.0 10 2020 03 1 10

In this example the calculation is done for a point on Earth's surface at $26^{\circ} 15'$N, $82^{\circ} 25'$W and 10 m above mean sea level. The year=2020 C.E., in this example, month = 3 (Mar), day = 1. The calculation will start at midnight on March 1, 2020 (at the beginning of the 1st) and proceed at 10 minute intervals (fixed in this code) for 10 days (the number in the last column).

To run the code type:


perl earth_tide.pl input_data_file_name > output_file_name

perl script: earth_tide.pl


#PERL routine based on
#PROGRAM TO PRODUCE MICROGAL TIDE VALUES AT 10 MINUTE INTERVALS
#MODIFIED 14 FEB 1979 TO PROVIDE OPTIONAL PRINTOUT TO .01 MILLIGAL.
#MODIFIED DECEMBER 1983, JAN 1988, March 1998
#Dan Scheirer, Aug 2007: Tweaked to improve portability 
# (syntax fixes and preserve double-precision)
#Translated to PERL (2013) by Laura Connor
#
#This program returns the tidal acceleration used to correct gravity measurements.
#That is, it returns the UPWARD component of gravitational 
#acceleration due to the sun and moon. To correct gravity 
#measurements for tidal acceleration, the returned values are
#ADDED to the observed gravity measurement.
#************************************************************
# Check for data file on command line 
# and exit if not data file specified.
my $scriptname = $0;

if (($#ARGV +1) != 1) {
  my $Usage = "Usage: perl $scriptname data_filename > output_filename";
  print "$Usage\n";
  exit;
}

##############################################
#INPUTS: 
# Use an input file with the following format
# latitude minutes longitude minutes elevation year month day days

# latitude: degree part, South is negative, North is positive
# minutes; minutes part of latitude, always positive
# longitude: degree part, West is negative, East is positive
# minutes: minute part of longitude, always positive
# elevation: of obsevation point in meters
# year: YYYY, starting year
# month: MM, starting month
# day: DD, starting day
# days: number of days, from starting day, of gravity calculations due to earth tide
########################################################
# OUTPUTS:
# The program will output 2 columns of data
 # time mGals
 
# time format is:  YYYY-MM-DD-HH-MM (UTC)
# where YYYY is the year; MM is the month, DD is the day, HH is the hour, MM are the minutes past the hour (UTC)
# Redirect the output to a file instead of the screen using an   >   the redirect symbol  (as shown in the USAGE statement above)
###############################################################################

use Math::Trig;

my @DAYPM = (31.,28.,31.,30.,31.,30.,31.,31.,30.,31.,30.,31.);
my @G;
# Double Precision numbers
my $CDEGTR = 1.7453292519943e-2;
my $CMINTR = 2.90888208666e-4;
my $CSECTR = 4.848136811e-6;
my $C0 = 3.84402e10;
my $C1 =1.495e13;
my $E =  0.05490;
my $RATIO = 0.074804;
my $OMEGA = 23.452 * $CDEGTR;
my $SMALLA = 6.37827e8;
my $AMU = 6.670e-8;
my $AMMOON = 7.3537e25;
my $AMSUN = 1.993e33;
my $PI2 = 6.2831853072;
my $SC1 = 1108411.2;
my $PC1 = 392515.94;
my $HC1 = 129602768.13;
my $ANC1 = 482912.63;
my $E11 = 1.675104e-2;
my $E12 = 4.180e-5;
my $E13 = 1.26e-7;
# Convert to milligals
my $MM = 1;
my $ARG5 = $OMEGA/2.;
my $ARG2 = 5.145 * $CDEGTR;
my $E_temp = $E**2;
my $APRIME = 1. / ($C0 * (1. - $E_temp));
my $SCON = 270. * $CDEGTR + 26. * $CMINTR + 14.72 * $CSECTR;
my $SSCON = 1336. * $PI2 + $SC1 * $CSECTR;
my $PCON = 334. * $CDEGTR + 19. * $CMINTR + 40.87 * $CSECTR;
my $PPCON = 11. * $PI2 + $PC1 * $CSECTR;
my $HCON = 279. * $CDEGTR + 41. * $CMINTR + 48.04 * $CSECTR;
my $ANCON = 259. * $CDEGTR + 10. * $CMINTR + 57.12 * $CSECTR;
my $AANCON = 5. * $PI2 + $ANC1 * $CSECTR;
my $P1CON = 281. * $CDEGTR + 13. * $CMINTR + 15. * $CSECTR;
my $CON1 = sin($OMEGA);
my $CON2 = cos($OMEGA);
my $CON3 = sin($ARG2);
my $CON4 = cos($ARG2);
my $CON5 = $APRIME * $E;
my $CON6 = $CON5 * $E;
my $ARG30 = $CON4 * $CON2;
my $ARG31 = $CON1 * $CON3;
my $CON7 = $CON5 * $RATIO * 15.0/ 8.;
my $Ratio_temp = $RATIO**2;
my $CON8 = $APRIME * $Ratio_temp;
my $CON9 = 5. * $E_temp / 4.;
my $CON10 = 15. * $RATIO * $E / 4.;
my $CON11 = 11. * $Ratio_temp / 8.;
# The elevation of the location in meters
my $SELEV;
#the Latitude in DEGREES and DECIMAL MINUTES (NORTH POSITIVE)
my $SLATD, my $SLATM;
#Longitude in DEGREES and DECIMAL MINUTES (WEST POSITIVE)
my $SLONGD, my $SLONGM;
#Starting date-YEAR MONTH DAY-(Example 2000 02 29)
my $DATEY, my $DATEM, my $DATED;
#TIME ZONE(Hours WEST of Greenwich PST=8,PDT=MST=7)
my $TIMEH = 0.;
#Number of days for which tide is to be calculated
my $DAYS;
my $NTOTAL;
#Generating tide correction values in MILLIGALS', 1' at 10 minute intervals')
while (<>) {
	if ($_ =~ m/^#/) {next;}
	($SLATD, $SLATM,$long_deg, $SLONGM, $SELEV, $DATEY,$DATEM,$DATED, $DAYS) = split " ";
}
$SLONGD = -$long_deg;
$LATD = int($SLATD);
$LONGD = int($SLONGD);
#print "$LATD,$LONGD  ";
if ($DATEY < 100.) {$DATEY += 2e3;}
$IDATEM = int($DATEM);
$IDATED = int($DATED);
$NDATEY = int($DATEY);
#print "$DATEY-$IDATEM-$IDATED ";
$IDATEY = int($DATEY - 1900);
#print "$IDATEY\n";  
my $MINUTE = 0.;
# 10 minute intervals
my $FINT = 10;
$NTOTAL = int($DAYS * 1440 / $FINT);
#print "$LATD, $SLATM,$LONGD, $SLONGM, $SELEV, $IDATEY,$IDATEM,$IDATED, $DAYS\n";
#print "TOTAL = $NTOTAL\n";
my $TIMEM = 0.;
my $totaln = $NTOTAL;
my $i = 0;
for ($i = 1; $i <= $totaln; $i++) {
	if ($i  == 1) { goto L75; }
	$MINUTE += $FINT;
  $DAYS5 = $MINUTE / 1440.;
  # print "[$i]MIN: $MINUTE $DAYS5 ";
  goto L350;
L75:$DAYS2 = 0.;
  # The sign transfer function SIGN(X,Y)
  # takes the sign of the second argument 
  # and puts it on the first argument, 
  # return ABS(X) if Y >= 0 and -ABS(X) if Y < 0. 
  $ALAMBD = $SLATD * $CDEGTR + sign($SLATM, $SLATD) * $CMINTR;
  my $sl_temp = $SLONGM / 60.;
  $ALONG = $SLONGD + sign($sl_temp, $SLONGD);
  $MONTH = int($DATEM);
  $IDAY = int($DATED);
  $pr_day = $IDAY;
  $IYEAR = int($DATEY - 1900);
  # This will always be zero ; we are using UTC time
  $IHOUR = int($TIMEH);
  $pr_hr = 0;
  $MINUTE = $TIMEM;
  $pr_mm = 0;

  # CALCULATE T (NUMBER OF JULIAN CENTURIES)
	my $j = 0;
  for ($j = 1; $j <= 12; ++$j) {
    $JS = $MONTH - $j;
    if ($JS == 0) { goto L150; }
    $DAYS2 += $DAYPM[$j - 1];
  } # END for

L150: $DAYS3 = $IDAY - 1.;
  $DAYS4 = $IHOUR / 24.;
  $DAYS5 = $MINUTE / 1440.;
  $DAYS1 = $IYEAR * 365.;
  $NYEAR = int($IYEAR / 4);
  $SJ = $IYEAR / 4. - $NYEAR;
  if ($SJ > 0) { goto L200; }
  # IF(MONTH-2) 300,300,200
  if ( ($MONTH - 2 ) <= 0) {goto L300;}
  else {goto L200;}	
L200:	$DAYS6 = $NYEAR;
	goto L350;
L300:	$DAYS6 = $NYEAR - 1.;
L350:#print "\nDAYS: $DAYS1 $DAYS2 $DAYS3 $DAYS4 $DAYS5 $DAYS6 ";
	$STOR = $DAYS1 + $DAYS2 + $DAYS3 + $DAYS4 + $DAYS5 + $DAYS6 + 0.5;
  $T = $STOR / 36525.;
  $S = $SCON + ((0.0068 * $CSECTR * $T + 9.09 * $CSECTR) * $T + $SSCON) * $T;
  $P = $PCON + (((-0.045) * $CSECTR * $T - 37.24 * $CSECTR) * $T + $PPCON) * $T;
  $H = $HCON + (1.089 * $CSECTR * $T + $HC1 * $CSECTR) * $T;
  $AN = $ANCON + ((0.008 * $CSECTR * $T + 7.58 * $CSECTR) * $T - $AANCON) * $T;
  $P1 = $P1CON + ((0.012 * $CSECTR * $T + 1.63 * $CSECTR) * $T + 6189.03 * $CSECTR) * $T;
  $E1 = $E11 - ($E12 + $E13 * $T) * $T;
  my $AL_temp = (sin($ALAMBD))**2;
  $ARG1 = 1. / (1. + 0.006738 * $AL_temp);
  $CAPC = sqrt($ARG1);
  $RADIUS = $CAPC * $SMALLA + $ELEV;
  my $E1_temp = $E1**2;
  $APRIM1 = 1. / ($C1 * (1. - $E1_temp));
  $SMINP = $S - $P;
  $S2HP = $S - 2. * $H + $P;
  $SMINH = $S - $H;
  $HMINP1 = $H - $P1;
  $SMINP2 = 2. * $SMINP;
  $SMINH2 = 2. * $SMINH;
  $DISTEM = 1. / $C0 + $CON5 * cos($SMINP) + $CON6 * cos($SMINP2) + $CON7 * cos($S2HP) + $CON8 * cos($SMINH2);
  $DISTES = 1. / $C1 + $APRIM1 * $E1 * cos($HMINP1);
  $TZERO = $IHOUR + $MINUTE / 60.;
  $SMALLT = (15. * ($TZERO - 12.) - $ALONG) * $CDEGTR;
  $CHI1 = $SMALLT + $H;
  $ALSUN = $H + 2. * $E1 * sin($HMINP1);
  $ARG3 = $ARG30 - $ARG31 * cos($AN);
  $AI = acos($ARG3);
  $ARG4 = $CON3 * sin($AN) / sin($AI);
  $ANU = asin($ARG4);
  $CHI = $SMALLT + $H - $ANU;
  $SALPHA = $CON1 * sin($AN) / sin($AI);
  $CALPH1 = cos($AN) * cos($ANU) + sin($AN) * sin($ANU) * $CON2 + 1.;
  $ALPHA = 2. * atan2($SALPHA, $CALPH1);
  $XI = $AN - $ALPHA;
  $SIGMA = $S - $XI;
  $ALMOON = $SIGMA + 2. * $E * sin($SMINP) + $CON9 * sin($SMINP2) + $CON10 * sin($S2HP) + $CON11 * sin($SMINH2);
  $ARG6 = $ALSUN - $CHI1;
  $ARG7 = $ALSUN + $CHI1;
  my $cARG5_temp = cos($ARG5)**2;
  my $sARG5_temp  = sin($ARG5)**2;
  $CPHI = sin($ALAMBD) * sin($OMEGA) * sin($ALSUN) + cos($ALAMBD) * ($cARG5_temp * cos$ARG6 + $sARG5_temp * cos($ARG7));
  $ARG8 = $AI / 2.;
  $ARG9 = $ALMOON - $CHI;
  $ARG10 = $ALMOON + $CHI;
  my $cARG8_temp = cos($ARG8)**2;
  my $sARG8_temp = sin($ARG8)**2;
  $CTHETA = sin($ALAMBD) * sin($AI) * sin($ALMOON) + cos($ALAMBD) * ($cARG8_temp * cos($ARG9) + $sARG8_temp * cos($ARG10));
  $QR = 1e3;
  $DISTEM *= $QR;
  $DISTES *= $QR;
  my $ctheta2_tmp = $CTHETA**2;
  my $distem3_tmp = $DISTEM**3;
  my $qr3_tmp = $QR**3;
  my $qr4_tmp = $QR**4;
  my $radius2_tmp = $RADIUS**2;
  my $ctheta3_tmp = $CTHETA**3;
  my $distem4_tmp = $DISTEM**4;
      
  #GM=AMU*AMMOON*RADIUS*(3.d0*(CTHETA**2)-1.d0)*(DISTEM**3)/(QR**3)+3.d0*(AMU*AMMOON*(RADIUS**2)*(5.d0*(CTHETA**3)-3.d0*CTHETA))*(DISTEM**4)/(2.d0*QR**4)    
  $GM = $AMU * $AMMOON * $RADIUS * (3. * $ctheta2_tmp - 1.) * $distem3_tmp / $qr3_tmp + 3. * ($AMU * $AMMOON * $radius2_tmp * (5.0 * $ctheta3_tmp - 3. * $CTHETA)) * $distem4_tmp / (2. * $qr4_tmp);
  $GM *= 1e3;
  my $cphi2_tmp = $CPHI**2;
  my $distes3_tmp = $DISTES**3;
  $GS = $AMU * $AMSUN * $RADIUS * (3. * $cphi2_tmp - 1.) * $distes3_tmp * 1e3 / $qr3_tmp;
  $GZERO = $GM + $GS;
  $G[$i - 1] = ($GZERO * 1160.) / 1e3;
  if ($pr_mm == 60) {
    $pr_mm = 0;
    $pr_hr++;
  }
  if ($pr_hr == 24) {
    $pr_hr = 0;
    $pr_day++;
  }     
  my $str = "$DATEY"."-"."$DATEM"."-"."$pr_day"."-"."$pr_hr"."-"."$pr_mm";
  printf "%s %.4f\n", $str, $G[$i - 1];
  $pr_mm += $FINT;
} #END  for (my $i = 1; $i <= $totaln; ++$i) {
    
$NMIN = -143;
--$IDATED;
my $int_days = int($DAYS);
my $k = 0;
for ( $k = 1; $k <= $int_days; ++$k) {
  ++$IDATED;
  if ($IDATED <= int($DAYPM[$IDATEM - 1] ) )  { goto L990; }
  # If February
  if (($IDATEM == 2)) { goto L910; }
L905: ++$IDATEM;
	$IDATED = 1;
  if ($IDATEM <= 12) { goto L990; }
  $IDATEM = 1;
  ++$NDATEY;
  ++$IDATEY;
  goto L990;
L910: if ($IDATED >= 30) { goto L905; }
  if (($IDATEY / 4) << 2  == $IDATEY) { goto L990; }   
  goto L905;   
L990: #$NMIN += 144;
  	  #$NMAX = $NMIN + 143;
  	  #for (my $z = $NMIN; $z <= $NMAX; ++$z ) {
		  #printf "%s %.4f\n", $str, $G[$z-1];
  		#if (($z % 12) == 0) {print "\n";}
	    #}
} # END for ( my $k = 1; $k <= $int_days); ++$k) { 

##############################################
# FUNCTION sign()
# return ABS(X) if Y >= 0 and -ABS(X) if Y < 0
###############################################
sub sign {
	my $ans = ($_[1] >= 0) ? abs($_[0]) : -abs($_[0]);
	#print "$_[0]  $_[1]  $ans\n";
	return $ans;
}

Example Output

Example output for the earth tide calculation


2020-03-1-0-0 0.0473
2020-03-1-0-10 0.0429
2020-03-1-0-20 0.0385
2020-03-1-0-30 0.0341
2020-03-1-0-40 0.0297
2020-03-1-0-50 0.0254
2020-03-1-1-0 0.0212
2020-03-1-1-10 0.0171
2020-03-1-1-20 0.0132
2020-03-1-1-30 0.0094
2020-03-1-1-40 0.0059
2020-03-1-1-50 0.0025
2020-03-1-2-0 -0.0006
2020-03-1-2-10 -0.0035
2020-03-1-2-20 -0.0061
2020-03-1-2-30 -0.0085
2020-03-1-2-40 -0.0105
2020-03-1-2-50 -0.0123
2020-03-1-3-0 -0.0139
2020-03-1-3-10 -0.0151
2020-03-1-3-20 -0.0161
2020-03-1-3-30 -0.0168
2020-03-1-3-40 -0.0172
2020-03-1-3-50 -0.0173
2020-03-1-4-0 -0.0172
2020-03-1-4-10 -0.0168
2020-03-1-4-20 -0.0163
2020-03-1-4-30 -0.0154
2020-03-1-4-40 -0.0144
2020-03-1-4-50 -0.0132
2020-03-1-5-0 -0.0119
2020-03-1-5-10 -0.0103
2020-03-1-5-20 -0.0087
2020-03-1-5-30 -0.0069
2020-03-1-5-40 -0.0051
2020-03-1-5-50 -0.0031
2020-03-1-6-0 -0.0012
2020-03-1-6-10 0.0008
2020-03-1-6-20 0.0029
2020-03-1-6-30 0.0049
2020-03-1-6-40 0.0069
2020-03-1-6-50 0.0088
2020-03-1-7-0 0.0107
2020-03-1-7-10 0.0125
2020-03-1-7-20 0.0142
2020-03-1-7-30 0.0158
2020-03-1-7-40 0.0172
2020-03-1-7-50 0.0185
2020-03-1-8-0 0.0197
2020-03-1-8-10 0.0206
2020-03-1-8-20 0.0214
2020-03-1-8-30 0.0221
2020-03-1-8-40 0.0225
2020-03-1-8-50 0.0227
2020-03-1-9-0 0.0227
2020-03-1-9-10 0.0225
2020-03-1-9-20 0.0221
2020-03-1-9-30 0.0215
2020-03-1-9-40 0.0207
2020-03-1-9-50 0.0197
2020-03-1-10-0 0.0184
2020-03-1-10-10 0.0170
2020-03-1-10-20 0.0154
2020-03-1-10-30 0.0136
2020-03-1-10-40 0.0116
2020-03-1-10-50 0.0095
2020-03-1-11-0 0.0072
2020-03-1-11-10 0.0048
2020-03-1-11-20 0.0023
2020-03-1-11-30 -0.0003
2020-03-1-11-40 -0.0030
2020-03-1-11-50 -0.0058
2020-03-1-12-0 -0.0087
2020-03-1-12-10 -0.0115
2020-03-1-12-20 -0.0144
2020-03-1-12-30 -0.0173
2020-03-1-12-40 -0.0201
2020-03-1-12-50 -0.0229
2020-03-1-13-0 -0.0256
2020-03-1-13-10 -0.0282
2020-03-1-13-20 -0.0307
2020-03-1-13-30 -0.0330
2020-03-1-13-40 -0.0352
2020-03-1-13-50 -0.0373
2020-03-1-14-0 -0.0391
2020-03-1-14-10 -0.0407
2020-03-1-14-20 -0.0421
2020-03-1-14-30 -0.0433
2020-03-1-14-40 -0.0442
2020-03-1-14-50 -0.0448
2020-03-1-15-0 -0.0451
2020-03-1-15-10 -0.0452
2020-03-1-15-20 -0.0449
2020-03-1-15-30 -0.0444
2020-03-1-15-40 -0.0435
2020-03-1-15-50 -0.0423
2020-03-1-16-0 -0.0408
2020-03-1-16-10 -0.0390
2020-03-1-16-20 -0.0369
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2020-03-10-21-10 0.0351
2020-03-10-21-20 0.0252
2020-03-10-21-30 0.0153
2020-03-10-21-40 0.0054
2020-03-10-21-50 -0.0045
2020-03-10-22-0 -0.0143
2020-03-10-22-10 -0.0238
2020-03-10-22-20 -0.0331
2020-03-10-22-30 -0.0420
2020-03-10-22-40 -0.0505
2020-03-10-22-50 -0.0585
2020-03-10-23-0 -0.0660
2020-03-10-23-10 -0.0728
2020-03-10-23-20 -0.0791
2020-03-10-23-30 -0.0846
2020-03-10-23-40 -0.0894
2020-03-10-23-50 -0.0934

The format of the output is year-month-day-hour-minute upward-acceleration (mgal). A tidal correction for gravity data, would involve adding this number to gravity observations to correct for tidal effects due to the Sun and the Moon.

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gnuplot code for plotting earth tide data

gnuplot script: earth_tide.gnu


set terminal png size 600,600
set xdata time
set timefmt "%Y-%m-%d-%H-%M"
set output "tide.png"

# xrange must specify the same format and range
# as in the data file, tidetable.out
set xrange ["2020-03-1-0-0":"2020-03-10-23-50"]
set xtics("2020-03-1-0-0","2020-03-3-0-0", "2020-03-5-0-0",  "2020-03-7-0-0" , "2020-03-9-0-0" )
set yrange [-0.2:0.2]

set grid
set xlabel " "
set ylabel "change in gravity (mGal)"
set title "Earth Tide"

plot "tidetable.out" using 1:2 index 0 notitle with lines

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References

Longman, I.M. (1959) Formulas for computing the tidal accelerations due to the Moon and the Sun. Journal of Geophysical Research 64(12):2351-2355.
MacMillan, W.D. (1958) The Theory of the Potential, Dover Books on Science and Engineering, New York.

Citation
Connor, L. J. and Connor, C.B. (2015) perl and gnuplot scripts for calculating and plotting the gravimetric acceleration due to the Earth tide.
Reference: https://gscommunitycodes.usf.edu/geoscicommunitycodes/public/geophysics/Gravity/earth_tide.php

Earth Tide and Gravitational Acceleration

Calculate the gravity acceleration due to earth tides, caused by the time-varying positions of the Sun and the Moon, relative to a point on Earth's surface.

Contents

Introduction

Calculating gravity acceleration with perl

Example Output

gnuplot code for plotting earth tide data

References

Citation